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Raster als Gerüst für die Entwicklung eines schulinternen Lehrplans im Fach Mathematik

Das Beispiel für einen schulinternen Lehrplan Mathematik enthält alle obligatorischen Elemente des Kernlehrplans Mathematik in der Abendrealschule. Für die Umsetzung eines schulinternen Curriculums innerhalb einer Fachkonferenz, muss diese sich zunächst Gedanken über die Voraussetzungen und Besonderheiten an der eigenen Schule klar werden. Darüber hinaus müssen Vereinbarungen getroffen werden zur fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit an der Schule, Grundsätzen der Leistungsbewertung, den eingesetzten Lehr- und Lernmitteln, zu fachübergreifenden Fragestellungen und zur Qualitätssicherung.

Neben diesem Übersichtsraster des schulinternen Lehrplans werden auf den Internetseiten des Lehrplannavigators einzelne Unterrichtssequenzen beispielhaft ausgearbeitet und weiterführende Materialien zum Beispiel zur Diagnose angeboten.

1. Semester

Unterrichtsreihe (verbindliche fachliche Gegenstände)

Hinweise und Vereinbarungen zur Vertiefung mathematischer Prozesse

Didaktische Hinweise und Vereinbarungen

Hinweise und Vereinbarungen zu geeigneten Kontexten

Ganze Zahlen / Zahldarstellungen
(RW: 1 Wo)

  • Darstellung als Ziffernzahl und an der Zahlengeraden sowie Darstellungswechsel
  • Grundrechenarten mit ganzen Zahlen
  • Rechenregeln und vorteilhaftes Rechnen (I)
  • Bedeutung von ganzen Zahlen und Operationen mit ganzen Zahlen in Realsituationen
  • Schätzen, Überschlagen und Runden im Anwendungszusammenhang (I)

Modellieren

  • Modellieren spielt bei Aufgaben mit Sachkontexten grundsätzlich eine wesentliche Rolle. Dies betrifft insbesondere den Rückbezug eines Ergebnisses auf die Sachsituation.
Kommunizieren
  • Dem Wechsel zwischen verbaler und symbolischer Darstellung kommt hier eine besondere Bedeutung zu.
  • Werkzeuge nutzen
  • Umgang mit dem Taschenrechner: Vorzeichen/Rechenzeichen; Klammerung; Punkt-/Strichrechnung; kontextabhängiger Umgang mit der Rechnergenauigkeit
  • Inhaltliche Füllung der symbolischen Darstellung (z. B. „–12 – 18 = ?“, „–3 ∙ 4“) durch verbale Beschreibung von zugehörigen Sachsituationen (z. B. Kontostand, Temperatur); Wechsel zwischen verbalen und symbolischen Darstellungen (beide Richtungen)
  • Grundvorstellungen von Operationen: z. B. Division als „Verteilen“, „Aufteilen“, „Enthalten Sein“ … oder Multiplikation als „Abkürzung der Addition“, „Operator“ (Vergrößern/Verkleinern) … oder Subtraktion als … oder Addition als …
  • Operationseigenschaften (für vorteilhaftes Rechnen, z. B. Subtraktion als Umkehrung der Addition, gleichsinniges oder gegensinniges Verändern)
  • Rundungsregeln sollen nicht schematisch festgelegt, sondern die verwendete Genauigkeit in der Lerngruppe kritisch diskutiert und mit Blick auf den jeweiligen Kontext sinnvoll vereinbart werden.
  • Kontostände
  • Temperaturen
  • Bevölkerungszahlen, geopolitische Daten
  • Zeitleiste (historische Ereignisse)
  • Meeresspiegelhöhen (ü. n. N.)

Bruchrechnung / Pfadregeln (Wahrscheinlichkeitsrechnung I)
(RW: 2 Wo)

  • Darstellung von Brüchen (Bruchschreibweise auch als gemischte Zahl, Dezimaldarstellung, Zahlengerade, ggf. Prozentzahl) und Darstellungswechsel
  • Kürzen und Erweitern
  • Grundrechenarten mit Brüchen
  • Darstellungsformen und vorteilhaftes Rechnen (II)
  • Schätzen, Überschlagen und Runden im Anwendungszusammenhang (II)
  • Addition und Multiplikation von Brüchen in Baumdiagrammen (Pfadregeln)
  • Laplace-Ansatz zur Prognose von Wahrscheinlichkeiten

Modellieren

  • Modellieren spielt bei Aufgaben mit Sachkontexten grundsätzlich eine wesentliche Rolle. Dies betrifft insbesondere den Rückbezug eines Ergebnisses auf die Sachsituation.
Kommunizieren
  • Dem Wechsel zwischen verbaler und symbolischer Darstellung kommt auch hier eine besondere Bedeutung zu.
  • Werkzeuge nutzen
  • Umgang mit dem Taschenrechner: Bruchrechnung mit dem jeweiligen Taschenrechner; Darstellungswechsel (Bruch à Dezimal) mit dem TR
  • Kürzen und Erweitern sollen anschauungsgebunden / -unterstützt thematisiert werden, z. B. geometrisch als Vergröbern und Verfeinern.
  • Grundvorstellungen von Brüchen (z. B. als Anteil, als multiplikativer Operator) und Rechenoperationen mit Brüchen (Multiplikation interpretiert als „Chancen von Chancen“ und „Anteile von Anteilen“; Division interpretiert als „Enthalten Sein“)
  • Baumdiagramme in einfachen Sachsituationen betrachten, dabei parallele Betrachtung von absoluten und relativen Häufigkeiten. Dabei können in Lösungsansätzen von Studierenden auch andere Darstellungsmittel im Rahmen der Modellierung von Sachsituationen auftreten (z. B. Vierfeldertafeln, kombinatorische Überlegungen bzw. Vorformen davon). Diese sollten ebenfalls zugelassen werden.
  • Laplace-Ansatz an verschiedenen (geeigneten) Zufallsexperimenten (mit Würfel, Münze, Urne)
  • Preise
  • Planung einer Veranstaltung
  • Chancen bei einfachen Glücksspielen und Lotterien

Zuordnungen / Dreisatz / Graphen von Zuordnungen (auch qualitativ)

(RW: 3 Wo)

  • Darstellungsarten (Tabelle, Graph, verbalisierte Situation) und Darstellungswechsel
  • proportionale und antiproportionale Zuordnungen
  • Dreisatz

Modellieren

  • Das Interpretieren mathematischer Modelle kann besonders mit Graphen von Zuordnungen geübt werden.
  • Argumentieren
  • Hier bietet es sich an, den vermuteten Typ einer Zuordnung durch Rückgriff auf deren typische Eigenschaft(en) zu begründen.

Kommunizieren

  • Die Informationsentnahme (mathematisches Leseverstehen) spielt beim Darstellungswechsel (verbal à Graph) eine besondere Rolle.
  • Werkzeuge nutzen
  • Bei der Berechnung und Darstellung von Zuordnungen kann der Einsatz einer Tabellenkalkulation hilfreich sein.
  • konkrete Daten als Ausgangspunkt für Zuordnungen
  • Zur Kontrastierung sollen neben proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen auch andere Zuordnungen (nicht berechenbare, ggf. propädeutisch auch quadratische oder lineare) betrachtet werden.
  • Beim Dreisatz kommt es auf die grundlegende Idee an (Zurückgehen auf eine Grundeinheit und Hochrechnen auf die Zielgröße), nicht auf dessen schematische Anwendung oder bestimmte formale Darstellungen.
  • Menge à Preis
  • Zeit à Weg
  • Geschwindigkeit à Weg
  • Zuordnungen in der Geometrie
  • Messungen (z. B. Federn, Gummibänder)
  • Wetterdaten, Pegelstände, Füllkurven, Somatogramme etc.
  • Körpergröße à Gewicht

Prozent- und Zinsrechnung
(RW: 2 Wo)

  • Darstellungsarten (Prozentzahl, Dezimalzahl, Bruch) und Darstellungswechsel
  • Stützwerte
  • Zinseszinsbetrachtung und Wachstumsfaktoren
  • Schätzen, Überschlagen und Runden im Anwendungszusammenhang (III)
  • Taschenrechner und vorteilhaftes Rechnen (III)

Modellieren

  • Modellieren spielt bei Aufgaben mit Sachkontexten grundsätzlich eine wesentliche Rolle. Dies betrifft insbesondere den Rückbezug eines Ergebnisses auf die Sachsituation.
Kommunizieren
  • Die Informationsentnahme (mathematisches Leseverstehen) spielt hier bei den Anwendungszusammenhängen eine besondere Rolle.
  • Werkzeuge nutzen
  • Taschenrechner: Prozenttaste; schnelles Berechnen
  • Betrachtung der jeweiligen Zuordnungen, Berechnungen auf Basis dieser Zuordnungen z. B. mit dem Dreisatz; Fokus auf den Zusammenhang von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert in vielfältigen Sachsituationen
  • Die Berechnung von Stützwerten (u. a. 1 %, 5 %, 10 %, 12,5 %, 20 %, 25 %, 50 %, 75 %) sollte mit Bruchrechnung vernetzt werden (1/100, 1/20, 1/10 …)
  • Bei den Wachstumsfaktoren muss auf die Operator-Vorstellung der Multiplikation zurückgegriffen werden können.
  • Wahlen
  • Steuern
  • Rabatte
  • Spareinlagen
  • Kredite, Ratenzahlung
  • Veränderungsbetrachtungen (Bevölkerungs-, Wirtschaftswachstum, Preissteigerung, Lohnerhöhungen)

Ebene Geometrie / Wurzeln I

(RW: 3 Wo)

  • Ebene Figuren zeichnen oder interpretieren
  • Längen, Flächeninhalte und Winkel von Dreiecken, Vierecken und Vielecken
  • Umkehrbetrachtungen zum Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten (Wurzeln I)
  • Umfang und Flächeninhalt von Kreisen
  • Schätzen, Überschlagen und Runden im Anwendungszusammenhang (IV)

Modellieren

  • Modellieren spielt bei Aufgaben mit Sachkontexten grundsätzlich eine wesentliche Rolle. Dies betrifft insbesondere den Rückbezug eines Ergebnisses auf die Sachsituation.
Problemlösen
  • Hier bietet die Flächeninhaltsberechnung Anlass zu systematischem innermathematischem Problemlösen (Zerlegen und Zusammensetzen von Figuren).
Werkzeuge nutzen
  • Zirkel und Geodreieck sowie ggf. DGS werden im Rahmen dieser Unterrichtsreihe besonders verwendet.
  • Im Rahmen der Unterrichtsreihe Ebene Geometrie soll der Umgang mit einer Formelsammlung (und ggf. die Erstellung und Nutzung eines Regelhefts) erlernt werden.
  • Ebene Figuren sollen vor allem bei der Bearbeitung von Sachproblemen (ggf. maßstäblich) gezeichnet (z. B. Grundrisse, Punkte, Strecken oder Figuren auf Landkarten bzw. im Gelände) oder interpretiert (z. B. bzgl. Symmetrie) werden.
  • Bei den Flächeninhaltsberechnungen soll vor allem das Prinzip der Zurückführung von Flächeninhalten anderer Figuren auf den Flächeninhalt von Rechtecken durch Zerlegen und Zusammensetzen betont werden.
  • Einführung des Umfangs von Kreisen mit der Proportionalität von Umfang und Durchmesser (ggf. Flächeninhalt: Ausschöpfen von Flächen à mit DGS)
  • Grundrisse
  • Landkarten

Größen

(RW: 2 Wo)

  • Maßstabsverhältnisse
  • Umwandeln von und Rechnen mit Größen (Geld, Gewicht, Zeit, Längen, Flächen, Volumina)
  • Zehnerpotenzschreibweise
  • Anzahlen systematisch bestimmen
  • Schätzen, Überschlagen und Runden im Anwendungszusammenhang (V)

Modellieren

  • Modellieren spielt bei Aufgaben mit Sachkontexten grundsätzlich eine wesentliche Rolle. Dies betrifft insbesondere den Rückbezug eines Ergebnisses auf die Sachsituation.

Kommunizieren

  • Die Informationsentnahme (mathematisches Leseverstehen) spielt hier eine besondere Rolle.
  • Auch Betrachtung von Geschwindigkeiten oder Dichten als „zusammengesetzte“ Größen.
  • Fermi-Aufgaben (auch: Bilder-Aufgaben)
  • Bei der Zehnerpotenzschreibweise liegt der Schwerpunkt auf der Umwandlung und auf der verbalen Darstellung besonderer Zehnerpotenzen (Tera~, Giga~, Mega~, Kilo~, Dezi~, Zenti~, Milli~, Mikro~ und Nano~). Unterstützung der Vorstellung durch geeignete Visualisierung.
  • astronomische Daten
  • geographische Daten
  • kleine und große Tiere
  • Staatsverschuldung

2. Semester

Unterrichtsreihe (verbindliche fachliche Gegenstände)

Hinweise und Vereinbarungen zur Vertiefung mathematischer Prozesse

Didaktische Hinweise und Vereinbarungen

Hinweise und Vereinbarungen zu geeigneten Kontexten

Beschreibende Statistik I / Empirisches Gesetz der großen Zahl

(RW: 3 Wo)

  • Datenerhebungen
  • Darstellung und Präsentation
  • Kennwerte
  • empirisches Gesetz der großen Zahl

Modellieren

  • Modellieren spielt bei Aufgaben mit Sachkontexten grundsätzlich eine wesentliche Rolle. Dies betrifft insbesondere den Rückbezug eines Ergebnisses auf die Sachsituation.

Werkzeuge nutzen

  • Im Rahmen der Unterrichtsreihe kann der Einsatz einer Tabellenkalkulation hilfreich sein.
  • Eine eigene Datenerhebung zu (relevanten/interessanten/selbst gewählten) inhaltlichen Fragen durchführen und auswerten (Prinzip: von der Frage zum Verfahren/Konzept)
  • Strichlisten, Häufigkeitstabellen, Säulendiagramme, Kreisdiagramme
  • Mittelwert, Median
  • empirisches Gesetz der großen Zahl mit konkreten Zufallsexperimenten belegen (Werfen einer Münze, hier: Kopf oder Zahl, oder Würfeln), grafische Darstellung (mögliche Ausgangsfragen: Wie viele Leute sollte man befragen, um einigermaßen sicher zu sein? Wie oft muss ich die Reißzwecke werfen, um einigermaßen sicher zu sein?)
  • Beispiele aus Realsituationen z. B. Versicherungswesen (Unisex-Tarife), Medizin, Marktforschung
  • Versicherungswesen (Unisex-Tarife)
  • Medizin
  • Marktforschung

Satz von Pythagoras und
räumliche Geometrie

(RW: 3 Wo)

  • Netze und Schrägbilder von Quader, Prisma, Zylinder, Pyramide und Kegel
  • Volumen und Oberfläche von Quader, Prisma, Zylinder, Pyramide und Kegel
  • Satz von Pythagoras als Formel

Modellieren

  • Modellieren spielt bei Aufgaben mit Sachkontexten grundsätzlich eine wesentliche Rolle. Dies betrifft insbesondere den Rückbezug eines Ergebnisses auf die Sachsituation.

Problemlösen

  • Die Oberflächeninhalts- und Volumenberechnung kann Anlass zu systematischem innermathematischem Problemlösen bieten (Zerlegen und Zusammensetzen von Körpern und Körpernetzen).

Werkzeuge nutzen

  • Zirkel und Geodreieck unterstützen im Rahmen der Unterrichtsreihe „Räumliche Geometrie“ beim Skizzieren von Netzen und Schrägbildern.

Die Formelsammlung wird als Hilfsmittel bei den Berechnungen von Körpern eingesetzt. Der Satz des Pythagoras wird hier als Formel verwendet.

  • Netze zeichnen und Schrägbilder interpretieren von entsprechenden Körpern sowie deren grundlegende Eigenschaften
  • Volumen und Oberfläche von Quadern, Prismen mit geeigneter Grundfläche und Zylindern sowie aus diesen zusammengesetzten Körpern
  • Exemplarische Herleitung mindestens einer Volumenformel
  • Volumen von Pyramide, Kegel und Kugel unter Verwendung der Formelsammlung, in diesem Zusammenhang auch Verwendung des Satzes von Pythagoras
  • propädeutische Thematisierung der Oberflächeninhalte von Pyramiden, Kegeln und Kugeln (ohne vertiefte Berechnungen)
  • Wichtig: konzeptionelle Zusammenfassung der Unterrichtsinhalte (Schrägbild – Volumen – Netz – Oberfläche) statt jeweils separater „Durcharbeitung“ eines Körpers
  • unterschiedliches Wachstumsverhalten von Längen, (Ober-) Flächen und Volumina
  • Übertragen auf Realsituationen (Verpackungen – Materialbedarf, Architektur)
  • Verpackungen – Materialbedarf
  • Architektur

Einführung in die Algebra

(RW: 3 Wo)

  • Textgleichungen
  • Gleichungen und deren Lösung
  • Terme und Termstrukturen

Modellieren

  • Das Übersetzen von Situationen aus Sachaufgaben und Realsituationen in Gleichungen und umgekehrt steht in der Unterrichtsreihe im Vordergrund.

Problemlösen

  • Das systematische Probieren soll als Problemlösestrategie besonders gefördert werden.

Kommunizieren

  • Dem Wechsel zwischen verbaler und symbolischer Darstellung kommt eine besondere Bedeutung zu.
Werkzeuge nutzen
  • Der Einsatz einer Tabellenkalkulation kann hilfreich sein.
  • Übertragen von Situationen aus Sachaufgaben und Realsituationen in Gleichungen und umgekehrt
  • einfache Gleichungen (auch z. B. ay + b = cx + d, …), Terme als Gleichungsbausteine, Terme und ihre Verbalisierung
  • Lösen durch Probieren/mit Tabellenkalkulation (Aneignung von Variablenaspekten)
  • Termstrukturen (Summen, Produkte) und zielgerichtetes Umformen von Termen z. B. zum Lösen von Gleichungen (ggf. auch mithilfe binomischer Formeln)
  • Bedeutung der Probe
  • systematisches Lösen von Gleichungen der Form 0 = ax + b
  • gestaffelte Eintrittspreise

Funktionen und ihre Darstellung / Lineare Funktionen

(RW: 3 Wo)

  • Darstellung von Zuordnungen und Funktionen
  • Eigenschaften der Funktion
    f(x) = m⋅x + b

Modellieren

  • Das Interpretieren mathematischer Modelle kann besonders mit Graphen von Funktionen geübt werden.

Argumentieren

  • Darstellungswechsel bei Funktionen bieten vielfältigen Raum mit anderen zu argumentieren und typisch mathematische Argumentationsstrategien zu nutzen (ganz kleine/ große Werte, Rechnen am Beispiel).

Kommunizieren

  • Dem Wechsel zwischen verbaler und symbolischer Darstellung kommt eine besondere Bedeutung zu.
  • Die Informationsentnahme (mathematisches Leseverstehen) spielt in allen Anwendungszusammenhängen eine besondere Rolle und kann hier intensiv geübt werden.

Werkzeuge nutzen

  • Der Einsatz einer Tabellenkalkulation kann hilfreich sein.
  • Mithilfe des Taschenrechners wird in der Unterrichtsreihe die Probe durchgeführt.
  • Die Formelsammlung kommt als weiteres Hilfsmittel zur Anwendung.
  • natürliches Aufgreifen eindeutiger Zuordnungen (Menge à Preis; Messvorgänge; Kontext: Federn); insgesamt: Betonung des funktionalen Zusammenhangs
  • Darstellung von Zuordnungen/Funktionen (nicht nur lineare; in Wertetabellen, als Wortvorschrift, als Graf, als Term und als Gleichung)
  • Vor- und Nachteile der verschiedenen Darstellungen; Darstellungswechsel
  • Einfluss der Parameter in der Termdarstellung der Funktion
    f(x) = mx + b in der grafischen Darstellung und ihre Bedeutungen in Realsituationen (Weg-Zeit-Zusammenhänge, Tarifmodelle)
  • Kontrastierung in Realsituationen: lineare Funktionen (einer Veränderlichen) vs. komplexere Modelle (mehrere Veränderliche können z. B. mit Tabellenkalkulation bearbeitet werden); Beispiel: Tarifaufgaben
  • besondere Schnittpunkte (Nullstellen, y-Achsenabschnitt) und ihre Bedeutung in Realsituationen
  • Umkehrfragen in Realsituationen (mit Einheitenbetrachtungen)
  • Ermitteln von Funktionsgleichungen aus der grafischen Darstellung
  • Tarifmodelle
  • Federkonstante
  • Weg-Zeit-Zusammenhänge

3. Semester

Unterrichtsreihe (verbindliche fachliche Gegenstände)

Hinweise und Vereinbarungen zur Vertiefung mathematischer Prozesse

Didaktische Hinweise und Vereinbarungen

Hinweise und Vereinbarungen zu geeigneten Kontexten

Gleichungssysteme

(RW: 3 Wo)

  • Motivation aus den linearen Funktionen (z. B. Tarifvergleich, Bewegungsaufgaben)
  • Darstellungswechsel (LGS-Lösung als Schnittpunktbestimmung)
  • Zusammenhang zwischen grafischer Darstellung und der Lösungsmenge (ggf. systematisches Probieren mit Tabellen)

Modellieren

  • Modellieren spielt bei Aufgaben mit Sachkontexten grundsätzlich eine wesentliche Rolle.

Problemlösen

  • - Bei Gleichungssystemen werden Problemlösestrategien wie „Beispiele Finden“ angewendet.
  • Für LGS sollen Lösungen gefunden und Lösungsverfahren selbstständig entwickelt werden.

Werkzeuge nutzen

  • - Geeignete digitale Werkzeuge (z. B. Dynamische-Geometrie-Software) können zur geometrischen Deutung der LGS verwendet werden.
  • Nach dem Erreichen eines Grundverständnisses für Lösungsverfahren wird auch der Taschenrechner zu deren Lösung eingesetzt.
  • Neben der algebraischen Lösung, die grundsätzlich auch der Taschenrechner durchführen kann, ist der Darstellungswechsel geeignet, das Verständnis zu fördern (geometrische Deutung).
  • Die unterschiedlichen möglichen Lösungsverfahren sollen nicht systematisch erarbeitet und geübt werden. Kein Lösungsverfahren soll allgemein den Vorzug vor anderen erhalten.
  • Hier sollen auch Umkehraufgaben angewendet werden (LGS zu vorgegebener Lösung aufstellen).
  • Zahlenrätsel zur Übung des Zusammenhangs von Verbalisierung und LGS
  • Tarifaufgaben
  • Bewegungsaufgaben

Geometrie am rechtwinkligen Dreieck: Satz von Pythagoras (vertiefend), Satz von Thales und Trigonometrie

(RW: 3 Wo)

  • Satz von Pythagoras, auch zum Nachweis der Rechtwinkligkeit
  • Satz von Thales
  • Ähnlichkeitsbeziehungen am Beispiel rechtwinkliger Dreiecke
  • Zusammenhang zwischen Längen und Winkeln im rechtwinkligen Dreieck (sin, cos, tan)
  • Darstellen der Sinusfunktion (insbesondere grafisch) und ihre Anwendungen bei periodischen Vorgängen

Argumentieren

  • Bei der Unterrichtsreihe können vorgegebene/angebahnte Argumentationen nachvollzogen und verglichen werden (Lernen aus Lösungsbeispielen).
  • Darüber hinaus können auf der Basis bereits hergeleiteter Sätze weitere Vermutungen aufgestellt und begründet werden.

Werkzeuge nutzen

  • Im Rahmen der Unterrichtsreihe bietet sich Dynamische-Geometrie-Software zur Untersuchung mathematischer Situationen und zur Gewinnung von Vermutungen an.
  • Der Taschenrechner wird für trigonometrische Berechnungen verwendet.
  • Mit Hilfe einer DGS wird die Beziehung zwischen Einheitskreis und der Sinus-Funktion veranschaulicht.
  • Umfang des erneuten Aufgreifens des Satzes von Pythagoras muss auf die Voraussetzungen in der Lerngruppe abgestimmt werden und kann ggf. im Rahmen eines Stationenlernens stattfinden.
  • Die unterschiedlichen Versionen von Beweisen des Satzes von Pythagoras bieten eine gute Möglichkeit, diese mit Studierenden nachzuvollziehen und die Bedeutung allgemeiner Beweise in der Mathematik zu erspüren.
  • Satz von Thales mit DGS entdecken
  • Ähnlichkeitsbeziehungen begründen die Festlegung der trigonometrischen Funktionen
  • Vernetzung von Tangens und Steigungsdreieck bei linearen Funktionen
  • Landvermessung
  • Beschreibung periodischer Vorgänge (Strom, Herzschlag, Radiowellen, Schallwellen – ohne systematische Behandlung von Amplitude und Frequenz).

Quadratische Funktionen

(RW: 6 Wo)

  • Einstieg: quadratische funktionale Zusammenhänge (z. B. beschleunigte Bewegung, geometrische Zusammenhänge)
  • Wechsel zwischen der graphischen Darstellung und der Darstellung in Funktionsgleichungen ausgehend von angewandten Beispielen (wie z. B. Wurfparabel, Wasserstrahl)
  • Unterschiedliche Termdarstellungen und die Bedeutung von Parametern (Auswirkung auf den Graphen)
  • Quadratische Gleichungen und ihre Lösung (algebraisch, numerisch und graphisch), in diesem Zusammenhang Wurzeln und deren Bedeutung für die Existenz von Lösungen

Modellieren

  • Modellieren spielt bei Aufgaben mit Sachkontexten grundsätzlich eine wesentliche Rolle. Dies betrifft insbesondere den Rückbezug eines Ergebnisses auf die Sachsituation (z. B. Interpretation der Lösungen von quadratischen Gleichungen im Sachkontext)
  • Vorteilhafte Wahl des Koordinatensystems im Rahmen der Unterrichtsreihe quadra­tische Funktionen (z. B. bei der Koordinati­sierung von Parabeln aus Realsituationen)

Problemlösen

  • Beim Aufstellen von Funktionsvorschriften werden Problemlösestrategien wie „Beispiele finden“ angewendet.

Kommunizieren

  • Die Informationsentnahme (mathematisches Leseverstehen) spielt in allen Anwendungszusammenhängen eine besondere Rolle.

Werkzeuge nutzen

  • Der Taschenrechner wird bei der Lösung von quadratischen Gleichungen verwendet.
  • Im Rahmen der Unterrichtsreihe quadratische Funktionen kann der Einsatz einer Tabellenkalkulation oder einer Dynamischen-Geometrie-Software hilfreich sein, um den Zusammenhang zwischen den Parametern der Funktion und dem Graphen zu entdecken.
  • Die Qualität quadratischer funktionaler Zusammenhänge soll in Abgrenzung zu linearen erfahren werden.
  • Die Symmetrie der Parabel ist eine wesentliche und bei vielen Problemstellungen hilfreiche Eigenschaft, die immer wieder thematisiert werden soll.
  • Für den Umgang mit quadratischen Funktionen ist die Scheitelpunktform zentral (beim Aufstellen von Funktionsgleichungen oder der Untersuchung von Parameteränderungen).
  • Hier sollte die Zahlbereichserweiterung von den rationalen zu den reellen Zahlen intensiv betrachtet werden (z. B. Lösbarkeit von
    0 = x2 – 2; auch im Sinne der Existenz anschaulich vorhandener Nullstellen).
  • Parabeln in der Architektur (Brücken, Bauwerke)
  • Quadratische funktionale Zusammenhänge (Beschleunigung, Bremsvorgänge) im Schienen- und Straßenverkehr

4. Semester

Unterrichtsreihe (verbindliche fachliche Gegenstände)

Hinweise und Vereinbarungen zur Vertiefung mathematischer Prozesse

Didaktische Hinweise und Vereinbarungen

Hinweise und Vereinbarungen zu geeigneten Kontexten

Beschreibende Statistik II (inkl. Boxplot und „manipulierte“ Diagramme)

(RW: 2 Wo)

  • Boxplots interpretieren
  • Erstellen von angemessenen Diagrammen zu gegebenen Daten
  • Erarbeitung typischer Manipulationen von Diagrammen

Modellieren

  • Nach Einführung der Boxplots in der Unterrichtsreihe Beschreibende Statistik II können die Studierenden aus einer Vielzahl unterschiedlicher Darstellungsarten für Daten jeweils sachangemessene auswählen bzw. nicht sachangemessene vorgegebene Darstellungen von Daten („Manipulation“) kritisieren.

Problemlösen

  • Bei dieser Unterrichtsreihe können (ggf. manipulierte) Grafiken und Diagramme systematisch untersucht werden.

Kommunizieren

  • Die Informationsentnahme (mathematisches Leseverstehen) spielt in allen Anwendungszusammenhängen des 4. Semesters (auch zur Vorbereitung auf die ZP10) eine besondere Rolle.

Werkzeuge nutzen

  • Hier ist der Einsatz einer Tabellenkalkulation sinnvoll und hilfreich.
  • Boxplots eignen sich besonders für Gruppenvergleiche; die Datenreihen müssen dabei jeweils hinreichend umfangreich sein.
  • Das Erstellen eigener Diagramme zu gegebenen Daten ist eine wichtige Grundlage für die Interpretation von Diagrammen.
  • Die typischen Manipulationen können selbstständig im Gruppenpuzzle erarbeitet werden („Checkliste“ als Produkt der zweiten Gruppenphase)
  • „Manipulierte“ Diagramme sollen durch eigene, angemessene „korrigiert“ werden.
  • Meinungsumfragen
  • Wahlen
  • Lebenshaltungskosten
  • Arbeitsmarktdaten
  • Darstellungen in Zeitungen

Wachstum (linear, quadratisch, exponentiell, periodisch/qualitativ)

(RW: 4 Wo)

  • Beispiele für alle Wachstumsarten
  • qualitatives Erfassen von Wachstum (Rückschlüsse aus dem Kontext, Interpretation skizzierter Grafen)
  • quantitatives Erfassen von Wachstum (Auswertung von Tabellen, Termen oder präzise gezeichneter Grafen)
  • Charakterisierung unterschiedlicher Arten von Wachstum
  • Grenzen von Modellen reflektieren

Modellieren

  • Hier ist das Wechselspiel zwischen Mathematik und „Rest der Welt“ besonders wichtig (Welche Art von Wachstum liegt vor? Wo liegen die Grenzen des Modells?)

Problemlösen

  • Die Studierenden suchen angemessene algebraischeCharakterisierungen unterschiedlichen Wachstumsverhaltens.

Kommunizieren

  • Die Informationsentnahme (mathematisches Leseverstehen) spielt in allen Anwendungszusammenhängen des 4. Semesters (auch zur Vorbereitung auf die ZP10) eine besondere Rolle.
  • Hier können Daten zu einem Phänomen erhoben und durch Funktionen angenähert werden (z. B. mit dem Ziel einer Prognose); dabei ist besonders wichtig, welches Wachstumsverhalten inhaltlich plausibel ist.
  • Bei der konkreten Modellierung unterschiedlicher Wachstumsprozesse sollten bei allen Wachstumsarten die verschiedenen Darstellungswechsel durchgeführt werden.
  • Tarife
  • Zinseszins
  • radioaktiver Zerfall
  • Bierschaumexperiment
  • Modelle für das „Normalgewicht“

Chancen und Risiken (Wahrscheinlichkeitsrechnung II – in Kontexten)

(RW: 3 Wo)

  • Wiederholung und Nutzung von Baumdiagrammen, z. B. zur Bestimmung der Sicherheit von Tests und der Interpretation von Testergebnissen
  • Wahrscheinlichkeitsaussagen im Alltag / in der Gesellschaft (Reaktorsicherheit, Hochwasserschutz, Verhütung)
  • Zufallsexperimente planen, durchführen und auswerten, z. B. Simulationen von Vorgängen (z. B. mit Tabellenkalkulation: klassische und moderne Glücksspiele, Aktienkurse, Wurfspiele, Verkehrsfluss an Fußgängerampel)

Modellieren

  • Hier soll besonderer Wert auf die jeweilige Reflexion gelegt werden, ob ein Wahrscheinlichkeitsansatz sachangemessen ist.

Argumentieren

  • Das Aufstellen von Wahrscheinlichkeitsansätzen bietet Gelegenheit zum Argumentieren (z. B. hinsichtlich der Frage, ob sich die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis von einer Durchführung eines Zufallsexperiments zur nächsten ändert).

Kommunizieren

  • In dieser Unterrichtsreihe bieten verschiedene Modellierungen einer Situation immer wieder Anlass für diskursive Unterrichtsgespräche.
  • Die Informationsentnahme (mathematisches Leseverstehen) spielt in allen Anwendungszusammenhängen des 4. Semesters (auch zur Vorbereitung auf die ZP10) eine besondere Rolle.
  • Werkzeuge nutzen
  • Hier ist der Einsatz einer Tabellenkalkulation sinnvoll und hilfreich.
  • Die Einschätzung von Testergebnissen basiert häufig auf der Regel von Bayes.
  • Viele Überlegungen werden einfacher, wenn statt Wahrscheinlichkeiten absolute Häufigkeiten betrachtet werden.
  • Vor der Berechnung konkreter Wahrscheinlichkeiten sollte der jeweils gewählte Ansatz (z. B. Laplace, stabilisierte relative Häufigkeiten) reflektiert werden.
  • Alternativ zu Baumdiagrammen sind auch kombinatorische Überlegungen oder Vierfeldertafeln geeignete Darstellungsmittel; sie sollen nicht systematisch erarbeitet, aber auch sichtbar werden.
  • Simulationen sollten in der Regel selbst geplant und durchgeführt werden; andernfalls leidet ggf. das Verständnis mit Blick auf den simulierten Prozess.
  • Risiken von Technologien
  • Interpretation von Testergebnissen (medizinische Tests, Sicherheitskontrollen, Spamfilter)

Vernetzung, Wiederholung und Übung unterschiedlicher fachlicher Gegenstände im Anwendungszusammenhang

(RW: 2 Wo)

Festigung der Kompetenzen in ausgewählten Inhaltsbereichen.

Festigung der Kompetenzen in ausgewählten Prozessbezogenen Bereichen.

  • Die Kontexte sollen Anlass zu vielfältigen mathematischen Aktivitäten bieten.
  • Die Kontexte sollen Anlass zum Problemlösen oder Modellieren geben, d.h. Lösungswege sollen nicht „auf der Hand liegen“.
  • Verpackungen (Geometrie und Arithmetik/ Algebra)
  • Architektur/Kunst (Geometrie und Funktionen)
  • Karten des Liegenschaftsamtes/Geografisches Material (Geometrie und Arithmetik/Algebra)
  • Landvermessung/Straßenbau (Geometrie und Funktionen)
  • Simulation stochastischer Prozesse (Stochastik und Funktionen)
  • Tarife und Tarifverhandlungen (Funktionen)
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© 2020 Qualitäts- und UnterstützungsAgentur - Landesinstitut für Schule - Letzte Änderung: 18.01.2014