Von der durchschnittlichen Änderungsrate zur Ableitungsfunktion (E-A6)(9 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• berechnen durchschnittliche und lokale Änderungsraten und interpretieren sie im Kontext,
• erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate,
• deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten,
• deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/ Tangentensteigung,
• leiten Funktionen graphisch ab.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):

Kommunizieren

Die Studierenden ...

• beschreiben Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren (Rezipieren),
• wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzieren),
• vergleichen und beurteilen ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Verständlichkeit und ihrer fachsprachlichen Qualität (Diskutieren).

Argumentieren

Die Studierenden ...

• stellen Vermutungen auf (Vermuten),
• stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her [...] (Begründen),
• erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie (Beurteilen).

Werkzeuge nutzen

Die Studierenden ...

• verwenden verschiedene digitale Werkzeuge […] zum […]
  • … zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen,
  • … Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle,
  • …grafischen Messen von Steigungen […],
• nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen.

Ausgehend von einem Anwendungskontext, bei dem die Änderungsrate eine relevante Größe ist und relativ regelmäßigen Schwankungen unterliegt, werden durchschnittliche Änderungsraten berechnet und als Steigung von Geraden (Sekanten) interpretiert. Hier können verschiedene Fragestellungen im Anwendungskontext diskutiert und Argumentationen hinterfragt werden.

Mithilfe dynamischer Geometriesoftware und, soweit sinnvoll, dem GTR wird der Übergang von der Sekante zur Tangente graphisch simuliert und es werden die jeweiligen Sekanten- und Tangentensteigungen berechnet und in Anwendungskontexten interpretiert. Dadurch kann die Ableitung über die Steigung der Tangente anschaulich nachvollziehbar definiert werden.

Durch die Erkundung verschiedener Graphen wird die Ableitung an einer Stelle durch das Aufstellen von den Erkenntnissen entsprechenden Regeln zum Graphen der Ableitung verallgemeinert und das graphische Ableiten eingeübt.

Zusammenhänge zwischen den Graphen und ihren Ableitungen werden verbalisiert sowie sowohl innermathematisch als auch in Anwendungskontexten graphisch wie rechnerisch begründet.

Ableitungsregeln sollen noch nicht eingeführt werden, so dass die Zusammenhänge frei vom Kalkül thematisiert werden können.