Integralrechnung (Q-LK-A4)(25 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe,
• deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext,
• skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion,
• erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs,
• erläutern den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion,
• begründen geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Änderungsrate und Integralfunktion,
• nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen,
• bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen,
• nutzen die natürliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion der Funktion,
• bestimmen Integrale numerisch und mithilfe von gegebenen oder Nachschlagewerken entnommenen Stammfunktionen,
• ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate oder der Randfunktion,
• bestimmen Flächeninhalte und Volumina von Körpern, die durch die Rotation um die Abszissenachse entstehen, mithilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen.

Prozessbezogene Kompetenzen:

Argumentieren

Die Studierenden ...

• stellen Vermutungen auf (Vermuten),
• unterstützen Vermutungen beispielgebunden (Vermuten),
• präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten),
• stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her [...] (Begründen).

Kommunizieren

Die Studierenden ...

• erfassen, strukturierenund formalisieren Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus authentischen Texten, mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen (Rezipieren),
• erläutern mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen (Rezipieren),
• formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege (Produzieren),
• erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren),
• vergleichen und beurteilen ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität (Diskutieren).

Werkzeuge nutzen

Die Studierenden ...

• nutzen […] digitale Werkzeuge [Erg. d. Fachkonferenz: Tabellenkalkulation und Funktionenplotter]zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen,
• verwenden verschiedene digitale Werkzeuge […] zum […]
  … Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse,
  … Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrals […].

Das Thema ist vergleichbar zur Einführung der Änderungsraten. Deshalb werden hier Kontexte, die schon dort genutzt wurden, wieder aufgegriffen(Geschwindigkeit – Weg, Zuflussrate von Wasser – Wassermenge).

Der Einstieg erfolgt über eine arbeitsteilige Gruppenarbeit, in der sich die Studierenden selbstständig eine Breite an Kontexten, in denen von einer Änderungsrate auf den Bestand geschlossen wird, erarbeiten.

Außer der Schachtelung durch Ober- und Untersummen sollen die Studierenden eigenständig weitere unterschiedliche Strategien zur möglichst genauen näherungsweisen Berechnung des Bestands entwickeln und vergleichen. Die entstehendenProduktsummen werden als Bilanz über orientierte Flächeninhalte interpretiert.

Qualitativ können die Studierenden den Graphen einer Flächeninhaltsfunktion als „Bilanzgraphen“ zu einem vorgegebenen Randfunktionsgraphen skizzieren.

Die Ergebnisse der Gruppenarbeit werden auf Plakaten festgehalten und in einem Museumsgang präsentiert. Studierendenvorträge über bestimmte Kontexte sind erforderlich.

Studierende entdecken, dass die Bestandsfunktion eine Stammfunktion der Änderungsrate ist.

Fragen zur Genauigkeit der Ergebnisse geben Anlass zu einer Recherche zum Zusammenhang des Grenzwertbegriffs und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aus innermathematischer und historischer Sicht.

Grundlegende Regeln zur Bildung von Stammfunktionen werden von den Studierenden selbstständig erarbeitet, ansonsten wird der Umgang mit der Formelsammlung und dem GTR geübt.

Neben der Nutzung des Hauptsatzes wird das Abschätzen bzw. das numerische Berechnen von Flächenmaßzahlen unter einem Graphen als Verfahren auch hilfsmittelfrei durchgeführt.

Die Studierenden berechnen Flächeninhalte, indem sie die Intervalladditivität und Linearität (bei der Berechnung von Flächen zwischen Kurven) nutzen. Bei der Berechnung der Flächeninhalte zwischen Graphen werden die Schnittstellen in der Regel numerisch mit dem GTR bestimmt.

Komplexere Anwendungsaufgaben (ganzrationale, Exponential- und Logarithmusfunktionen) sollen am Ende des Unterrichtsvorhabens bearbeitet werden, um Vernetzungen mit den Kompetenzen der bisherigen Unterrichtsvorhabenherzustellen. Dazu gehören auch Berechnungen von Rotationskörpern und uneigentliche Integrale.