Geraden in 3D - Wie liegen Geraden zueinander? (Q-GK-G2)(9 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• stellen Geraden und Strecken in Parameterform dar,
• interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext
• untersuchen Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden.

Prozessbezogene Kompetenzen(Schwerpunkte):

Modellieren

Die Studierenden ...

• erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren),
• treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren),
• übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren),
• erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren),
• beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren),
• beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung (Validieren),
• verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren).

Werkzeuge nutzen

Die Studierenden ...

• nutzen Formelsammlungen,Geodreiecke, geometrische Modelle, digitale Werkzeuge,
• verwenden verschiedene digitale Werkzeuge [Erg. Fachkonferenz: Dynamische-Geometrie-Software] zum
  … grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und Geraden,
  … Darstellen von Objekten im Raum,
  … Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen.

Lineare Bewegungen werden z. B. im Kontext von Flugbahnen (Kondensstreifen) durch Startpunkt und Richtungsvektor beschrieben und unter Verwendung eines geeigneten digitalen Werkzeugs graphisch dargestellt. Dabei werden Modellierungsfragen (reale Geschwindigkeiten, Größe der Flugobjekte, Flugebenen, Zeitabhängigkeit, Geschwindigkeitsvektor) einbezogen.

Abstrahierend vom Einstiegskontext wird die rein geometrische Frage aufgeworfen, wie eine Gerade durch zwei Punkte zu beschreiben ist. Hierbei wird herausgearbeitet, dass zwischen unterschiedlichen Parametrisierungen einer Geraden gewechselt werden kann. Punktproben sowie die Berechnung von Schnittpunkten mit den Grundebenen werden auch hilfsmittelfrei durchgeführt.

Ein weiterer Kontext (z. B. ein Klettergerüst auf dem Spielplatz) illustriert die Darstellung von Strecken in Parameterform als begrenzte Punktmenge. Auch in diesem Kontext werden Punktproben durchgeführt.

Der Fokus der Untersuchung von Lagebeziehungen liegt auf dem logischen Aspekt einer vollständigen Klassifizierung sowie einer präzisen Begriffsbildung (z. B. Trennung der Begriffe „parallel“, „echt parallel“, „identisch“). Flussdiagramme und Tabellen sind ein geeignetes Mittel, solche Algorithmen darzustellen. Es werden möglichst selbstständig solche Darstellungen entwickelt und hinsichtlich ihrer Brauchbarkeit beurteilt. Als Unterrichtsmethoden werden Lernplakate, Museumsgang o. Ä. genutzt. In diesem Teil des Unterrichtsvorhabens werden nicht nur logische Strukturen reflektiert, sondern auch Unterrichtsformen gewählt, bei denen Kommunikationsprozesse im Team unter Verwendung der Fachsprache angeregt werden.

Als Kontext wird die Modellierung von Flugbahnen (Kondensstreifen) wieder aufgegriffen und die Frage der Kollision untersucht. Für die Schnittpunktberechnung wird ein digitales Werkzeug genutzt.

In diesem Sachzusammenhang wird die Frage des Abstandes zwischen Flugobjekten (Wo befinden sich die Flugzeuge zum gleichen Zeitpunkt?) relevant.

Hier bieten sich vertiefende Übungen für die Studierenden an. Differenzierend können Methoden der Analysis mit dem Bereich der Analytischen Geometrie vernetzt werden: Das Abstandsminimum kann mit Hilfe geeigneter digitaler Werkzeuge numerisch oder graphisch ermittelt werden. Allein begrifflich davon abgegrenzt und nicht berechnet wird der Abstand zwischen den Flugbahnen (Abstand windschiefer Geraden).

Der systematische Vergleich verschiedener Beispiele zur Lage zweier Geraden und die Bestimmung der entsprechenden Lösungsmengen mit dem GTR (auch unter der Verwendung der Koeffizientenmatrix) führen zur Entdeckung von gemeinsamen Strukturen. Zentrale Werkzeugkompetenz in diesem Unterrichtsvorhaben ist die Interpretation des angezeigten Lösungsvektors bzw. der reduzierten Matrix. Die Vernetzung der geometrischen Vorstellung (Lagebeziehung) und der algebraischen Formalisierung wird herausgestellt.