Untersuchungen an geometrischen Körpern - Welche Lösungsstrategien sind hilfreich? (Q-GK-G5)(9 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung eines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum,
• erfassen geometrische Objekte in räumlichen kartesischen Koordinatensystemen und stellen einfache dreidimensionale Objekte mithilfe digitaler Werkzeuge dar,
• berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten,
• stellen Geraden und Strecken in Parameterform dar,
• interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext,
• stellen Ebenen in Parameterform dar,
• untersuchen Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden und zwischen Gerade und Ebene,
• berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext,
• interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen auch in Matrix-Vektor-Schreibweise,
• untersuchen mithilfe von Vektoreigenschaften bzw. dem Skalarprodukt geometrische Objekte und Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung).

Prozessbezogene Kompetenzen(Schwerpunkte):

Problemlösen

Die Studierenden ...

• recherchieren Informationen (Erkunden),
• erkennen und formulieren einfache und komplexe mathematische Probleme (Erkunden),
• analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden),
• entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen),
• nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten) (Lösen),
• wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen),
• beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz (Reflektieren).

Werkzeuge nutzen

Die Studierenden ...

• verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum,
  … Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen,
  … Durchführen von Operationen mit Vektoren und Matrizen.

Hinweis: Angesichts des begrenzten Zeitrahmens ist es wichtig, den Fokus der Unterrichtstätigkeit nicht auf die Vollständigkeit einer „Rezeptsammlung“ und deren hieb- und stichfeste Einübung zu allen denkbaren Varianten zu legen, sondern bei den Studierenden prozessbezogene Kompetenzen zu entwickeln, die sie in die Lage versetzen, problemhaltige Aufgaben zu bearbeiten und dabei auch neue Anregungen zu verwerten.

Tetraeder, Pyramiden, Würfel, Prismen und Oktaeder bieten als Körper vielfältige Anlässe für offen angelegte geometrische Untersuchungen und können auf reale Objekte bezogen werden. Die Vorstellung der Lage dieser Objekte wird über Modelle und einer räumlichen Geometriesoftware aufgebaut. Wo möglich, werden auch elementargeometrische Lösungswege als Alternative aufgezeigt. Die Bestimmung von Längen und Winkeln setzt das Thema Q-GK-G4 direkt fort. Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene erlauben Rückschlüsse auf ihre Lagebeziehung.

Abstände von zwei relevanten Punkten ermöglichen es, z. B. die Fläche eines Dreiecks oder die Höhe und das Volumen einer Pyramide zu bestimmen.

Das Gauß-Verfahren wird im Zusammenhang mit der Berechnung von Schnittfiguren oder bei der Konstruktion regelmäßiger Polyeder vertieft. Die Vernetzung der geometrischen Vorstellung und der algebraischen Formalisierung wird stets deutlich. Dazu gehört auch die Interpretation der Lösungen von linearen Gleichungssystemen im Sachkontext.

Parallelprojektion (Sonnenstrahlen) und Zentralprojektion (punktuelle Lichtquelle) bieten durch Betrachtung des Schattenwurfes eine Vertiefung und Vernetzung der bisherigen Unterrichtsinhalte. Der Einsatz geeigneter digitaler Werkzeuge ermöglicht es, den Ort der Strahlenquelle zu variieren.

In diesem Unterrichtsvorhaben wird im Sinne einer wissenschaftspropädeutischen Grundbildung besonderer Wert gelegt auf eigenständige Lernprozesse bei der Aneignung eines begrenzten Stoffgebietes sowie bei der Lösung von problemorientierten Aufgaben. In diesem Unterrichtsvorhaben werden auch heuristische Strategien und Vorgehensweisen aufgegriffen. Beispielsweise:

• eine planerische Skizze anzufertigen und die gegebenen geometrischen Objekte abstrakt zu beschreiben,
• geometrische Hilfsobjekte einzuführen,
• an geometrischen Situationen Fallunterscheidungen vorzunehmen,
• bekannte Verfahren zielgerichtet einzusetzen und in komplexeren Abläufen zu kombinieren,
• unterschiedliche Lösungswege kriteriengestützt zu vergleichen.

Abschließend nehmen die Studierenden eine Selbsteinschätzung ihrer Kompetenzen im Bereich der analytischen Geometrie vor und überprüfen sich anhand von komplexen Aufgaben.