Treffer oder nicht? – Modellierungen mit Bernoulli-Experimenten und Binomialverteilungen (Q-GK-S2)(9 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• verwenden Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufallsexperimente,
• erklären die Binomialverteilung im Kontext und berechnen damit Wahrscheinlichkeiten,
• nutzen Binomialverteilungen zur Lösung von Problemstellungen.

Prozessbezogene Kompetenzen:

Problemlösen

Die Studierenden ...

• greifen auf Erfahrungen aus ihrer Berufswelt zurück, die sie reorganisieren und mit neuen Inhalten verknüpfen (Erkunden),
• analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden),
• wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle,experimentelle Verfahren) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden),
• erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden),
• entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen),
• nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. Analogiebetrachtungen, Schätzen und Überschlagen, systematisches Probieren oder Ausschließen, Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Verallgemeinern) (Lösen),
• wählen Werkzeuge aus, die den Lösungsweg unterstützen (Lösen),
• interpretieren Ergebnisse auf dem Hintergrund der Fragestellung (Reflektieren),
• vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten (Reflektieren),
• beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz (Reflektieren).

Kommunizieren

Die Studierenden ...

• erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen (Rezipieren),
• beschreiben Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren(Rezipieren),
• verwenden die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemessenem Umfang (Produzieren),
• dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar (Produzieren),
• wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus (Produzieren),
• greifen Beiträge auf und entwickeln sie weiter (Diskutieren).

Werkzeuge nutzen

Die Studierenden ...

• verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
  … Ermitteln der Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert, Standardabweichung),
  … Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen,
• nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen,
• entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge und wählen diese gezielt aus.

Für den Einstieg in dieses Unterrichtsvorhaben eignet sich der Kontext von Prüfungsaufgaben, bei denen jeweils genau eine der vorgegebenen Antwortmöglichkeiten richtig ist. In diesem Kontext führt die Frage nach dem Bestehen der Prüfung unter der Grundannahme, dass blind geraten wird, zu einer Bernoullikette, die für eine geringe Anzahl an Prüfungsfragen auf das Baumdiagramm als bekannte Vorgehensweise zurückgeführt werden kann. Die besondere Bedeutung der Unabhängigkeit für Bernoulliketten wird am Baumdiagramm entdeckt und für verschiedene Kontexte (z. B. Ziehen mit/ohne Zurücklegen) interpretiert.

Die Binomialverteilung wird in einer problemhaltigen Situation aus dem Baumdiagramm einer Bernoullikette entdeckt bzw. entwickelt. Dabei kann der Binomialkoeffizient als Faktor für die Anzahl der gesuchten Wege zunächst erkundet und schließlich ohne Herleitung eingeführt und verwendet werden.

Mithilfe der Binomialverteilung werden schließlich Problemstellungen in verschiedenen realen Kontexten und Spielsituationen bearbeitet und auch mithilfe des GTR gelöst. In diesem Rahmen werden am Rande auch Fragen der Modellierung wiederholend aufgegriffen. Bei entsprechenden Problemstellungen werden kumulierte Wahrscheinlichkeiten eingeführt, verwendet und mit dem GTR berechnet. Verschiedene Lösungswege (zum Beispiel über die Gegenwahrscheinlichkeit) sollten verglichen und diskutiert werden.

Hinweis: Der Einsatz des GTR zur Berechnung singulärer sowie kumulierter Wahrscheinlichkeiten ermöglicht den Verzicht auf stochastische Tabellen und eröffnet aus der numerischen Perspektive den Einsatz von Aufgaben in realitätsnahen Kontexten.